Mengapa 1/2 + 1/3 Bukan 2/5? Pendalaman Penjumlahan Pecahan Berpenyebut Beda

Kemarin di kelas VII saya, saya menulis $\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$ di papan tulis lalu bertanya, “Berapa ini?” Hampir seluruh kelas menjawab serempak, “$\frac{2}{5}$, Pak!” Jawabannya keluar begitu cepat dan yakin, sampai saya sempat ragu untuk membantahnya. Saya pun menulis angka di bawahnya: “Coba kita cek. $\frac{2}{5}$ itu sama dengan $0{,}4$. Padahal $\frac{1}{2}$ saja sudah $0{,}5$.” “Kita baru saja menambahkan sesuatu ke setengah. Masa hasilnya malah lebih kecil dari setengah?” Kelas mendadak hening. Ada sesuatu yang tidak beres, dan hari itu kami sepakat mencarinya bersama-sama.

Artikel ini adalah pendalaman dari latihan pecahan yang sudah kita kerjakan sebelumnya. Kalau kemarin kita berlatih menghitung, hari ini kita mencari tahu mengapa jawaban yang tampak masuk akal itu ternyata salah, dan apa yang sebenarnya terjadi dengan penyebut yang tidak sama itu.

1 Jebakan yang tampak masuk akal

Mengapa jawaban $\frac{2}{5}$ terasa begitu benar? Karena pola pikirnya meniru sesuatu yang memang benar. Kita sudah hafal bahwa $2 + 3 = 5$: dua ditambah tiga menjadi lima. Otak kita lalu menarik kesimpulan yang sama untuk pecahan: pembilang ditambah pembilang, penyebut ditambah penyebut, selesai. Sayangnya, pecahan tidak bekerja seperti bilangan bulat.

Penyebut itu bukan bilangan yang dijumlahkan. Penyebut adalah nama ukuran potongan. $\frac{1}{2}$ artinya satu potong dari sebuah kue yang dipotong menjadi dua bagian sama besar, sedangkan $\frac{1}{3}$ artinya satu potong dari kue yang dipotong menjadi tiga bagian sama besar. Potongan yang satu lebih besar dari yang lain. Menjumlahkan penyebut $2 + 3 = 5$ sama saja dengan mengganti nama ukuran potongan di tengah jalan, lalu berpura-pura potongan itu dari tadi memang berukuran seperlima. Padahal tidak ada satu pun potongan seperlima di meja kita.

Yang dijumlah itu potongannya, bukan namanya. Penjumlahan pecahan baru bisa dihitung kalau semua potongannya sudah sama besar. Dan menyamakan besar potongan itulah pekerjaan yang sesungguhnya.

2 Bukti dari sepotong kue

Cara paling jujur untuk melihatnya adalah dengan membayangkan dua buah kue. Kue pertama dipotong menjadi dua, saya ambil satu potong: $\frac{1}{2}$. Kue kedua dipotong menjadi tiga, saya ambil satu potong: $\frac{1}{3}$. Dua potongan itu saya letakkan berdampingan di piring. Jelas sekali potongan pertama lebih besar. Tidak ada cara menjumlah keduanya begitu saja, karena satuan hitungnya berbeda.

Lalu saya memotong ulang. Potongan setengah kue saya belah lagi menjadi tiga bagian yang sama besar. Sekarang saya punya tiga potong, dan tiap potongnya adalah $\frac{1}{6}$ dari kue utuh. Potongan sepertiga kue saya belah menjadi dua bagian yang sama besar, sehingga saya punya dua potong $\frac{1}{6}$. Sekarang semua potongan sama besar: tiga potong $\frac{1}{6}$ dari kue pertama, dua potong $\frac{1}{6}$ dari kue kedua. Jumlahnya lima potong $\frac{1}{6}$, alias $\frac{5}{6}$.

Dalam bahasa pecahan, yang baru saja terjadi adalah $\frac{1}{2} = \frac{3}{6}$ dan $\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$, lalu $\frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$. Menyamakan penyebut itu bukan ritual hafalan yang harus dituruti tanpa bertanya. Itu adalah pekerjaan memotong ulang kue supaya semua potongannya sama besar, baru kemudian potongannya dihitung. Penyebut yang sama itu namanya, pembilang yang dijumlah itu hitungannya.

3 Cek dengan angka

Penjelasan yang bagus harus tahan diuji angka. Ambil $\frac{1}{2} + \frac{1}{4}$. Penyebut yang sama adalah $4$: $\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$, lalu $\frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$. Masuk akal: hasilnya lebih besar dari $\frac{1}{2}$ dan lebih kecil dari $1$. Coba jawaban jebakannya: pembilang ditambah pembilang, penyebut ditambah penyebut, $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$. Hasilnya lebih kecil dari $\frac{1}{2}$, padahal kita baru menambahkan sesuatu. Salah lagi, dan tes akal yang sama — hasil penjumlahan harus lebih besar dari tiap suku yang dijumlah — menangkapnya seketika.

Contoh kedua, $\frac{2}{3} + \frac{1}{6}$. Penyebut yang sama adalah $6$: $\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$, lalu $\frac{4}{6} + \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$. Contoh ketiga, $\frac{3}{4} + \frac{2}{5}$. Penyebut yang sama adalah $20$: $\frac{3}{4} = \frac{15}{20}$ dan $\frac{2}{5} = \frac{8}{20}$, sehingga jumlahnya $\frac{23}{20}$, atau $1\frac{3}{20}$. Hasilnya lebih dari satu, dan itu wajar saja: tiga perempat ditambah dua perlima memang melewati satu kue utuh.

4 Dua jebakan setelah penyebut disamakan

Jebakan pertama muncul justru setelah murid mengerti harus menyamakan penyebut. Mereka menulis $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6}$. Penyebutnya sudah sama, tetapi pembilangnya tidak ikut berubah. Ini salah, karena penyebut dikali tiga tetapi pembilangnya dibiarkan. Aturan pecahan senilai tidak bisa ditawar: kalau penyebut dikali tiga, pembilang harus ikut dikali tiga, supaya nilainya tetap. $\frac{1}{2}$ menjadi $\frac{3}{6}$ bukan karena kita mengganti angkanya seenaknya, melainkan karena tiap potongan setengah memang sama dengan tiga potong seperenam. Potongannya yang berubah, nilainya tetap.

Jebakan kedua adalah mengira penyebut hasil harus selalu KPK dari kedua penyebut. Untuk $\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$, KPK $2$ dan $3$ memang $6$, dan itu jalan yang paling pendek. Tetapi jalan lain juga benar. Saya boleh memakai penyebut $12$: $\frac{1}{2} = \frac{6}{12}$ dan $\frac{1}{3} = \frac{4}{12}$, sehingga jumlahnya $\frac{10}{12}$, yang setelah disederhanakan menjadi $\frac{5}{6}$ juga. KPK itu jalan pintas, bukan satu-satunya jalan. Yang wajib hanyalah satu hal: di akhir, sederhanakan jawabanmu, supaya bentuknya paling sederhana.

5 Kegiatan: lipat kertas jadi seperenam

Kalau ada waktu sepuluh menit di akhir pelajaran, saya membagikan dua lembar kertas kepada setiap murid. Lembar pertama dilipat menjadi dua, lalu dilipat lagi menjadi tiga, sehingga terbuka menjadi enam bagian sama besar: seperenam. Lembar kedua dilipat menjadi tiga, lalu menjadi dua, hasilnya sama: enam bagian. Murid mewarnai tiga bagian pada lembar pertama dan dua bagian pada lembar kedua, lalu menghitung bagian yang berwarna: lima dari enam.

Yang penting mereka melihat sendiri bahwa dua lipatan yang berbeda ujungnya sama: enam potong yang sama besar. Dan ketika mereka menulis $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}$ setelah itu, mereka tidak lagi sekadar mengikuti langkah hafalan. Mereka ingat lipatan kertas di meja mereka, dan mereka tahu mengapa penyebut harus disamakan dulu sebelum pembilang dijumlah.

$\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$ akhirnya bukan lagi sekadar soal yang jawabannya $\frac{5}{6}$. Ia adalah cerita tentang dua potongan kue yang tidak sama besar, tentang memotong ulang sampai satuannya sama, dan tentang jawaban $\frac{2}{5}$ yang tampak masuk akal tetapi gagal pada satu tes sederhana: hasil penjumlahan tidak boleh lebih kecil dari yang dijumlah. Dan setiap kali murid menulis penyebut yang sama setelah hari itu, saya berharap mereka ingat potongan kue di piring mereka, bukan sekadar langkah hafalan sebelum ulangan.