Mengapa Minus Kali Minus Sama dengan Plus? Pendalaman Perkalian Bilangan Negatif

Di kelas VII saya, ada satu kalimat yang hampir selalu muncul setiap tahun, diucapkan dengan nada setengah bertanya dan setengah protes: “Pak, kenapa minus dikali minus kok jadi plus? Bukannya minus itu kurang?” Murid yang bertanya itu tidak sedang membantah. Ia sedang meminta alasan, dan alasan adalah hal yang paling berhak ia dapatkan. Selama ini banyak dari kita mengajar aturan itu sebagai hafalan: plus kali plus sama dengan plus, plus kali minus sama dengan minus, minus kali minus sama dengan plus. Hafalan itu benar, tetapi hafalan tanpa alasan mudah runtuh begitu soal berubah bentuk.

Artikel ini adalah pendalaman dari materi bilangan bulat. Kita tidak akan menambah daftar aturan baru. Kita akan membongkar satu aturan yang paling sering dihafal tanpa dipahami, dengan tiga cara yang saling menguatkan: pola, garis bilangan, dan sifat distributif.

1 Pola yang bicara sendiri

Cara pertama tidak membutuhkan teori apa pun, hanya kesabaran melihat pola. Mulailah dari perkalian yang sudah disepakati semua orang, lalu kurangi pengalinya satu demi satu:

Perhatikan hasil di ruas kanan: $-6$, $-4$, $-2$, $0$. Setiap kali pengali berkurang satu, hasilnya bertambah $2$. Polanya teratur seperti anak tangga. Kalau pola itu diteruskan satu langkah lagi, pengalinya menjadi $-1$, dan hasilnya harus bertambah $2$ lagi dari $0$, yaitu $2$. Satu langkah berikutnya, pengalinya $-2$, hasilnya $4$. Dengan kata lain:

Tidak ada sulap di sini. Kita hanya menuntut pola itu konsisten. Kalau minus kali minus menghasilkan minus, pola anak tangga itu akan patah tepat di tengah jalan, dan matematika tidak suka pola yang patah tanpa alasan. Di kelas, saya menulis tabel ini pelan-pelan di papan tulis dan membiarkan murid menebak baris berikutnya sebelum saya menulisnya. Tebakan mereka hampir selalu benar, dan justru dari tebakan yang benar itulah keyakinan mereka tumbuh: aturan ini mereka temukan sendiri, bukan saya diktekan.

2 Garis bilangan: mengalikan negatif berarti membalik arah

Cara kedua memakai gambar yang sudah akrab bagi murid kelas VII: garis bilangan. Perkalian dengan bilangan positif bisa dibayangkan sebagai melangkah berulang ke arah yang sama. $3 \times 2$ berarti melangkah $2$ satuan ke kanan, sebanyak tiga kali. Perkalian dengan bilangan negatif menambahkan satu perintah baru: balik arah.

Ambil $(-3) \times 2$. Arah awalnya ke kanan sejauh $2$, tetapi tanda negatif di depan memerintahkan kita membaliknya ke kiri, sehingga hasilnya $-6$. Sekarang ambil $(-3) \times (-2)$. Bilangan $-2$ sendiri sudah berarti melangkah ke kiri, lalu tanda negatif di depan memerintahkan pembalikan sekali lagi, sehingga arahnya kembali ke kanan. Hasilnya $6$, positif. Dua pembalikan sama dengan kembali ke arah semula, seperti berbalik badan dua kali di tempat yang sama: kita kembali menghadap ke arah awal.

Gambaran ini membantu murid yang kesulitan menghafal tabel tanda. Saya sering memintanya berdiri dan mempraktikkan: satu langkah ke kiri untuk bilangan negatif, lalu berbalik badan untuk tanda negatif di depan. Setelah dua kali berbalik, mereka tertawa karena sadar mereka menghadap ke arah semula lagi. Tawa itu penting. Aturan yang pernah ditertawakan bersama jauh lebih sulit dilupakan daripada aturan yang sekadar dicatat.

3 Bukti yang paling meyakinkan: sifat distributif

Cara ketiga adalah yang paling meyakinkan bagi murid yang sudah berani bertanya “tetapi bagaimana kita tahu pasti?” Jawabannya memakai sifat distributif, sifat yang sudah mereka kenal dari perkalian bentuk aljabar. Kita tahu bahwa $2 + (-2) = 0$. Kalikan kedua ruas dengan $(-3)$:

Tetapi menurut sifat distributif, ruas kiri itu juga bisa dijabarkan:

Jadi $-6 + (-3) \times (-2)$ harus sama dengan $0$. Bilangan apakah yang jika ditambah $-6$ menghasilkan $0$? Hanya $6$. Dengan demikian, mau tidak mau:

Di titik ini biasanya kelas menjadi hening sejenak. Bukan hening karena bingung, melainkan hening karena menyadari sesuatu: aturan minus kali minus sama dengan plus ternyata bukan kesepakatan sembarangan yang dibuat para ahli matematika supaya soal-soal menjadi rapi. Aturan itu dipaksa oleh sifat-sifat yang sudah disepakati sebelumnya. Kalau kita menerima bahwa distributif berlaku dan bahwa bilangan berlawanan saling meniadakan, maka minus kali minus tidak punya pilihan lain selain menjadi plus.

4 Jebakan yang masih sering muncul

Pendalaman belum lengkap tanpa membahas kesalahan yang paling sering menyertainya. Banyak murid yang sudah hafal “minus ketemu minus jadi plus” lalu menerapkan kalimat itu ke semua operasi. Padahal kalimat itu hanya berlaku untuk perkalian dan pembagian. Pada penjumlahan, $-3 + (-2)$ tetap $-5$, bukan $5$. Utang tiga ribu ditambah utang dua ribu menjadi utang lima ribu, bukan tabungan lima ribu. Tanda minus di penjumlahan berarti menggabungkan dua kekurangan, sedangkan tanda minus di perkalian berarti membalik arah.

Jebakan kedua adalah mengacaukan tanda bilangan dengan tanda operasi. Pada soal $5 - (-3)$, tanda minus pertama adalah operasi pengurangan, sedangkan tanda minus kedua adalah tanda bilangan. Mengurangi bilangan negatif berarti membalik arah pengurangan, sehingga $5 - (-3) = 8$. Murid yang hanya menghafal “minus ketemu minus jadi plus” tanpa membedakan keduanya akan benar secara kebetulan pada soal ini, tetapi salah pada soal lain. Pemahaman tentang arah dan pembalikan jauh lebih awet daripada hafalan kalimat pendek.

5 Penutup: hafalan boleh datang belakangan

Di akhir pelajaran itu, saya selalu kembali ke pertanyaan murid saya di awal: kenapa minus dikali minus sama dengan plus? Jawabannya kini ada tiga lapis. Pola bilang begitu, garis bilangan menunjukkan pembalikan arah yang kedua mengembalikan kita ke arah semula, dan sifat distributif memaksanya secara logis. Tiga alasan itu tidak bertentangan, mereka bercerita tentang hal yang sama dari tiga sudut pandang.

Saya tidak melarang murid menghafal aturan tanda. Hafalan itu berguna saat ujian dan saat menghitung cepat. Tetapi saya meminta hafalan itu datang belakangan, sesudah alasan dipahami. Aturan yang dihafal tanpa alasan akan hilang begitu suasana ujian menegang, sedangkan alasan yang pernah ditemukan sendiri akan bertahan, karena ia bukan lagi milik buku, melainkan milik murid yang menemukannya.